AI学习指南机器学习篇-K均值聚类距离度量

在机器学习领域中，K均值聚类是一种常用的无监督学习方法，它能够将数据集中的样本划分为K个不同的簇，使得同一簇内的样本相似度较高，不同簇之间的样本相似度较低。而在K均值聚类的过程中，距离度量是一项非常重要的工作，它决定了样本之间的相似度如何计算，从而影响了最终的聚类结果。

本篇文章将详细介绍K均值聚类中常用的距离度量，包括欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离等，并解释不同距离度量在聚类过程中的影响和选择。此外，我们将给出具体的示例，以便读者更好地理解和运用这些距离度量方法。

1. 欧氏距离

欧氏距离是最常用的距离度量方法之一，它在K均值聚类中也有着广泛的应用。欧氏距离是指在n维空间中，两个点之间的真实距离，它的计算公式如下：

d ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + . . . + ( x n − y n ) 2 d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + ... + (x_n-y_n)^2} d(x,y)=(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2+...+(xn​−yn​)2ail" style="min-width: 1.02em; height: 1.28em;"> ​

其中x和y分别代表两个样本点的n维特征向量。

在K均值聚类中，使用欧氏距离来度量样本之间的相似度，计算样本点到簇中心的距离时，通过欧氏距离可以直观地表示出样本点与簇中心的远近程度。欧氏距离适用于各个特征维度对聚类结果的影响类似的情况，当特征维度差异较大时，欧氏距离的聚类效果可能会受到影响。

举个例子来说明欧氏距离在K均值聚类中的应用。假设有一个二维数据集，包含若干个样本点，我们要对这些样本点进行K均值聚类，其中K=3。首先随机初始化三个簇中心，然后计算每个样本点到这三个簇中心的欧氏距离，将每个样本点划分到距离最近的簇中心所对应的簇中。重复这个过程直到收敛为止，最终得到了三个簇，每个簇包含了一些相似的样本点。

2. 曼哈顿距离

曼哈顿距离是另一种常用的距离度量方法，它的计算公式如下：

$d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+...+|x_n-y_n|$

与欧氏距离不同的是，曼哈顿距离是指两点在标准坐标系上的绝对轴距总和。在K均值聚类中，曼哈顿距离的应用和欧氏距离类似，用于度量样本之间的相似度。曼哈顿距离在处理高维数据时可能比欧氏距离更加鲁棒，因为它更注重各个特征维度的绝对轴距总和，而不受特征维度差异的影响。

举个例子来说明曼哈顿距离在K均值聚类中的应用。假设有一个三维数据集，我们要对这些样本点进行K均值聚类，其中K=2。使用曼哈顿距离计算样本点到两个簇中心的距离，然后将每个样本点划分到距离最近的簇中心所对应的簇中。同样地，重复这个过程直到收敛为止，最终得到了两个簇，每个簇包含了一些相似的样本点。

3. 切比雪夫距离

切比雪夫距离是一种用于度量两个向量的最大距离的方法，它的计算公式如下：

$d(x,y)=\max (|x_1-y_1|,|x_2-y_2|,...,|x_n-y_n|)$

切比雪夫距离适用于需要关注各个特征维度的最大差异的情况，因此在K均值聚类中也有着一定的应用。在一些特征维度差异很大的情况下，切比雪夫距离可能比欧氏距离和曼哈顿距离更具有鲁棒性，能够更好地度量样本间的相似度。

举个例子来说明切比雪夫距离在K均值聚类中的应用。假设有一个二维数据集，我们要对这些样本点进行K均值聚类。使用切比雪夫距离计算样本点到簇中心的距离，然后将每个样本点划分到距离最近的簇中心所对应的簇中。同样地，重复这个过程直到收敛为止，最终得到了K个簇，每个簇包含了一些相似的样本点。

4. 闵可夫斯基距离

闵可夫斯基距离是一种通用的距离度量方法，它可以根据参数p的不同，分别退化为欧氏距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离。其计算公式如下：

$$d(x,y)={\left(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$

其中p可以取不同的值，当p=2时为欧氏距离，当p=1时为曼哈顿距离，当p=∞时为切比雪夫距离。

在K均值聚类中，闵可夫斯基距离可以根据不同的p值，灵活地选择欧氏距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离来度量样本间的相似度。这样就可以更好地适应不同特征维度的差异性，提高聚类的准确性和稳定性。

在K均值聚类中使用闵可夫斯基距离有一个明显的好处，即可以根据实际情况选择合适的p值，以适应不同的数据特点。比如在处理高维数据时，可以选择较大的p值来更加关注各个特征维度之间的最大差异；在处理低维数据时，可以选择较小的p值来更加平衡各个特征维度之间的差异性。

综上所述，K均值聚类中的距离度量是至关重要的，它直接影响了聚类结果的好坏。不同的距离度量方法各有优劣，适用于不同的数据特点。在实际应用中，需要根据具体的数据情况来灵活选择合适的距离度量方法，并结合K均值聚类的迭代优化过程，以获得更加准确和稳定的聚类结果。